Итак, у нас есть блестящая модель, предсказывающая движения рынка. Но как ей правильно воспользоваться? Какие позиции открывать и сколько денег в них вкладывать? Очевидно, открывать потенциально прибыльные, а вкладывать столько, чтобы не страшно было потерять, в идеале найти какой-то баланс между максимизацией прибыли и минимизацией рисков. Как это посчитать — читай дальше.
Вернемся к нашей великолепной модели. Для нужной нам акции/валюты/опциона/ставки на спорт модель выдает точное предсказание того, с какой вероятностью во сколько раз изменится этот актив в какой-то момент времени. Иными словами, если мы вложим в него сейчас $c$ денег, а его предсказанное изменение задано случайной величиной $r$, то получим мы с него $c * r$ денег. Минимальное значение $r$ пусть будет 0, что означает, что мы потеряем все, что вложили. Если $r$ равно 1.3, значит актив вырос на 30%. Подчеркну, что $r$ — это случайная величина. Мы не знаем заранее чему она будет равна через время, но мы знаем вероятности каждого возможного варианта, например $r = 0$ с вероятностью 10%, $r = 1.3$ с вероятностью 70%, $r = 2.0$ с вероятностью 20%. Конечно, вероятность может быть задана и непрерывной функцией — плотностью распределения, но в этой статье я рассмотрю только дискретный случай — он без проблем обобщается на непрерывный.
Пора ответить, вкладываться или нет. Если матожидание $r$ больше 1, то мы в среднем заработаем, если меньше 1, то мы в среднем окажемся в убытке. Логично? Читай до конца, прежде чем использовать эту логику.
Напомню формулу матожидания:
$$ \mathbb{E}[X] = ∑_{i=1}^{n} x_i * P(X = x_i), $$
где:
Для примера с r выше, матожидание будет равно:
$$ \mathbb{E}[r] = 0 * 0.1 + 1.3 * 0.7 + 2.0 * 0.2 = 1.31 $$
Значит, если мы купим этот актив, то в среднем получим 31% прибыли. Вроде…
Допустим, мы решили покупать его. Сколько? Пусть у нас сейчас капитал $C_0$ и мы хотим выбрать его долю $\alpha$, которую хотим инвестировать. Соответственно, оставшаяся доля — $1 - \alpha$. То есть спустя время у нас останется 100% от $1 - \alpha$ доли $C_0$ и какое-то случайное значение r от того, что вложили (от $\alpha$). Значит капитал в момент закрытия позиции будет равен:
$$ С_1 = C_0 * ((1 - \alpha) * 1 + \alpha * r) = C_0 * (1 - \alpha + \alpha * r) $$
Мы хотим его максимизировать. Единственная переменная на которую можем здесь влиять — это $\alpha$ — доля, которую мы вкладываем. Но мы не можем просто записать условие
$$ \alpha^* = \argmax_{\alpha \in [0, 1]} C_1(\alpha),\ \ //\ так\ нельзя $$